Время игр
Текст: Алексей Кириллов | 2019-07-30 | Фото на заглавной странице: © bee32 / 123rf | 187
Значение математики в нашей жизни постоянно растёт. Особо сильно это стало заметно с развитием социальных сетей и вступлением человечества в эпоху big data — «больших данных», активизировавшим использование математических методов, в том числе и при попытках описания и прогнозирования человеческого поведения. О том, насколько далеко в этом направлении продвинулась наука, мы пообщались с математиком, экспертом в области теории игр Алексеем Савватеевым.

— Алексей, скажите, действительно ли математика научилась предсказывать поведение людей? И возможно ли это в принципе?

Здесь мне сразу вспоминается рассказ Конан Дойля «Знак четырёх», когда выслеживающий Джонатана Смолла и его помощника-дикаря Шерлок Холмс, повторяя слова британского философа Уинвуда Рида, говорит, что «отдельный человек — это неразрешимая загадка, зато в совокупности люди представляют собой некое математическое единство и подчинены определённым законам. Действия отдельного человека предвидеть невозможно, но поведение целого коллектива, оказывается, можно предсказать с большей точностью». Так казалось полтора века назад, но теперь мы понимаем, что это совсем не так. Математика не позволяет предугадать в точности поведение ни отдельных индивидуумов, ни коллективов в целом, но некоторые аспекты этого поведения мы действительно можем описывать на приемлемом уровне.

К примеру, практически всегда в жизни хорошо работает модель, названная трагедией общин (или трагедией общих ресурсов), суть которой сводится к тому, что свободный доступ к какому-то ресурсу приводит к его чрезмерному и неэффективному использованию. Допустим, в городском саду яблоки редко дозревают до нормального состояния — их съедают раньше; это типичная ситуация, потому что каждый думает: «Если я сейчас не съем яблоко, то его съест кто-то другой». Но, опять же — посмотрите, как здесь всё тонко: если в обществе существует некий общественный договор, что незрелые яблоки никто не ест — этого не происходит. Человек подходит к неспелому яблоку и думает: «Я могу, конечно, его съесть, но если я этого не сделаю — оно дозреет, и есть вероятность, что яблоко достанется мне спелым, поскольку остальные люди кажутся мне вполне приличными, они тоже соблюдают наш договор и не едят незрелых яблок».

Другой общественный договор может быть связан с дорожным движением. Допустим, в Москве, если ты откуда-то выезжаешь — другие водители всегда уступают тебе дорогу, потому что понимают, что в следующий раз на твоём месте будут уже они. Но во многих других городах таких негласных договорённостей нет: ты будешь стоять до тех пор, пока кто-то из чисто сердобольных соображений тебя не пропустит. Всё дело в том, что культура людей — это культура высокоуровневых теоретико-игровых договорённостей: если мы будем друг к другу хорошо относиться и поддерживать такое равновесие, то наши «затраты на вежливость» станут минимальными. Но если все вокруг тебя плохо себя ведут, то вести себя хорошо становится, напротив, очень затратно, и ты от этого только потеряешь.

Деньги, кстати, по своей сути — это тоже общественный договор, хотя и несколько иного плана. Когда я от кого-то их принимаю, то верю, что смогу их использовать, смогу обменять эти бумажки на что-то реально нужное моему организму. Когда в обществе происходит разлад этого договора, то случается то, что называется гиперинфляцией, а это, пожалуй, самое жуткое для экономики явление.

Так вот, за последние 20-30 лет мы, математики, поняли, что вполне точно умеем предсказывать течение общественной жизни в каком-то режиме (доверия или недоверия), но совсем не умеем предугадывать, какой режим сложится. Нашим основным и, по сути, единственным инструментом здесь является теория игр или, если угодно, теория этих самых общественных договоров.

Теория игр — это метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой, в свою очередь, здесь понимается процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию каких-то своих интересов. В этом смысле вся наша сегодняшняя жизнь — это сплошная игра, в которую было бы неплохо уметь играть. Сейчас вообще время такое — время игр. В игре каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Ключевым понятием теории игр служит понятие равновесия. Нобелевский лауреат Джон Нэш — тот самый, о котором был снят знаменитый фильм «Игры разума», доказал, что в любой игре можно найти хотя бы одно равновесие — то есть ситуацию устойчивого самовоспроизводящегося прогноза. Попав в такое равновесие, игроки будут его сохранять, так как любое несогласованное с другими игроками изменение стратегии поведения ухудшит их положение. Однако нет никакой гарантии, что в найденном равновесии возобладает общественная оптимальность!

Иными словами, классический подход к конкуренции, сформулированный ещё Адамом Смитом, когда каждый борется только сам за себя, сегодня не считается однозначно правильным. Бывают более выгодными стратегии поведения, когда каждый игрок старается сделать ситуацию лучше не для себя, а для других (а другие, в свою очередь, ведут себя симметрично, в частности, улучшая ситуацию и для исходного игрока тоже). Приведённые выше примеры про городской сад и поведение водителей на дорогах в Москве очень хорошо это иллюстрируют.


© Peter Badge / OTRS submission by way of Jimmy Wales

Джон Нэш (1928 — 2015) — американский математик, работавший в области теории игр и дифференциальной геометрии и внёсший значительный вклад в их развитие. Имя Джона Нэша, может быть, известно не всем, но с его историей знаком почти каждый — именно его история легла в основу биографической драмы «Игры разума» с Расселом Кроу в главной роли. Нэш стал автором влиятельной работы о теории игр ещё в 21-летнем возрасте и защитил её в качестве диссертации во время учёбы в Принстонском университете. В научном мире он быстро стал известен как автор формулировки «равновесия Нэша». Сорок пять лет спустя, в 1994 году, Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике «за фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр». В 2015-м он был удостоен ещё и высшей награды по математике — Абелевской премии за вклад в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Получив и Нобелевскую, и Абелевскую премии Джон Нэш стал первым человеком в мире, который был удостоен обеих престижных наград.

— Правильно ли я понимаю, что задача математики в данном случае — найти равновесие и направить в него участников игры?

Найти равновесие? Да. Или констатировать его отсутствие в «чистых стратегиях» — тоже задача математиков. Но направить в него участников игры… Только если найденное равновесие оказалось оптимальным для общества в целом!

Математики доказывают возможность достижения равновесия, просчитывают то, как оно может выглядеть, и оценивают шанс на сходимость к нему. Если мы стартуем с ситуации, когда общество плохо себя ведёт, плохо договаривается друг с другом, то мы пытаемся понять — можно ли нарисовать какую-то траекторию дальнейшего течения этого общества, чтобы оно пришло к нужному, хорошему равновесию (или даже не вполне равновесию, как в выше приведённых конкретных примерах). Если можно — то как именно это сделать.

Но знание того, что желаемый исход общественного взаимодействия (не обязательно игровое равновесие, возможны и коллективные решения) недостижим — это тоже хорошее знание. В качестве примера давайте рассмотрим работу Парламента: какое-то количество депутатов обсуждает общественные проекты, которые можно было бы реализовать: построить новый стадион, проложить скоростную дорогу, что-то ещё. Парламентарии садятся и обсуждают, какой из проектов приоритетнее: какой на первом месте, какой — на втором и так далее. Дальше, в зависимости от того, сколько выделят денег, какая-то часть из них будет реализована. Но главное, что должен сделать парламент — это принять список приоритетов. Проблема в том, что у каждого парламентария свой собственный взгляд на эти приоритеты: один полагает, что превыше всего стадион, другой — что уже давно нужна скоростная магистраль, третий — что нужно построить ещё несколько школ. Поэтому желательно иметь на руках общий механизм прихода к консенсусу, какое-то правило принятия решений: всех выслушали, подставили в это правило, как в функцию, после чего она выдаёт решение Парламента.

Мечта о таком правиле появилась после казни Людовика XVI во времена Великой французской революции, благодаря Кондорсе и Борда — двум великим учёным того времени. Но только спустя 160 лет бесплодных поисков американский экономист Кеннет Эрроу доказал, что универсального правила принятия решений в Парламенте (удовлетворяющего минимальным разумным требованиям) быть не может, кроме одного — назначить кого-то одного Царём и всегда придерживаться только его списка инициатив. То есть работа Парламента может быть непротиворечивой лишь в одном случае — когда кто-то назначен главным. Этот чисто теоретический результат просто «взорвал» общество, тем более что идея «казнили короля — теперь назначьте нового» родилась в самом сердце западной демократии.

Это доказательство получило название теоремы (парадокса) Эрроу, которую часто называют также теоремой «о невозможности демократии» или теоремой «о неизбежности диктатора». Но когда все более-менее успокоились, стало понятно, что ко всему нужно относиться критично, и к этой теореме тоже, поскольку она утверждает лишь отсутствие универсального, всегда единого правила, а вовсе не принципиальной невозможности работы конкретных парламентов и комитетов.

До доказательства теоремы Эрроу все искали это общее правило и не принимали каких-то других вполне разумных механизмов работы Парламента, а после — наоборот, сказали, что теперь все это знают, и не будут требовать от работы парламентов и комитетов слишком многого (осознали свою «завышенность ожиданий» от науки!). В реальной ситуации начальный расклад сил и представлений не может быть совсем уж произвольным — и именно поэтому Парламент худо-бедно способен работать.

Достаточно часто при этом используется правило Борда: рейтинги упорядочиваются, потом складываются, и какая альтернатива получает наилучший рейтинг — та и будет первой, потом идёт вторая по рейтингу, затем третья и так далее. Но в этом правиле есть свой недостаток — манипулируемость. Если парламентарий хочет поднять свою альтернативу наверх и чувствует, что другая, тоже хорошая, альтернатива ему угрожает, он намеренно помещает «любимую альтернативу конкурента» в самый низ списка. Конкурент, надо полагать, делает то же самое: свою любимую инициативу ставит наверх, а вашу засовывает вниз.

В результате получается, что при подсчётах реально сильные альтернативы, которые конкурировали друг с другом, оказываются ближе к концу списка, а вперёд выбиваются какие-то ненужные второстепенные проекты. По сути своей теорема Эрроу утверждает, что перед технологией манипулирования уязвимы все избирательные системы, за исключением тех, в которых окончательное решение всегда принимает один и тот же человек. Не выполняется эта теорема только в том случае, когда альтернатив всего две — тогда можно голосовать простым большинством.


© Giulia Forsythe / flickr

Дилемма заключённого – одна из наиболее известных моделей, используемых в теории игр, согласно которой рациональные игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Суть проблемы была сформулирована Мерилом Фладом и Мелвином Дрешером в 1950 году и в общем виде формулируется так: двое преступников — А и Б — попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет). Если оба молчат, их деяние проходит по более лёгкой статье, и каждый из них приговаривается к полугоду тюрьмы. Если оба свидетельствуют друг против друга, они получают минимальный срок (по 2 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Представим рассуждения одного из узников. Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе — полгода тюрьмы). Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 2 года (иначе — 10 лет) тюрьмы. Стратегия «свидетельствовать» строго доминирует над стратегией «молчать». Аналогично другой узник приходит к тому же выводу. При этом с точки зрения группы (этих двух узников) лучше всего было бы сотрудничать друг с другом, хранить молчание и получить по полгода, так как это уменьшит суммарный срок заключения. Любое другое решение будет менее выгодным. Несмотря на кажущуюся надуманной формулировку, модель имеет множество практических применений. В политическом реализме, к примеру, сценарий дилеммы часто используется для иллюстрации проблемы двух государств, вовлечённых в гонку вооружений. Оба государства будут заявлять, что у них есть две возможности: либо увеличить расходы на военные нужды, либо сокращать вооружения. При этом очевидным образом выполняются постулаты дилеммы заключённого: 1: «мы вооружились, а противник — нет» — наилучший исход, наибольшая безопасность; 2: «никто не вооружился» — следующий по предпочтительности исход; 3: «оба вооружились» — плохо, но не катастрофично; 4: «мы не вооружились, а противник вооружился» — катастрофический исход. С точки зрения стороны А, если сторона Б не вооружается, то для А выбор идёт между 1 и 2 — лучше вооружаться. Если же Б вооружается, то для А выбор идёт между 3 и 4 — и опять-таки выгоднее вооружаться. Тем самым при любом выборе Б для стороны А выгоднее вооружаться. Ситуация для стороны Б совершенно аналогична и в итоге обе стороны будут стремиться к военной экспансии.

Кстати, на выборах тоже достаточно часто случаются удивительные для многих (но не для математиков) ситуации, когда их выигрывает какой-то фиктивный кандидат. Причина всё та же — два реально сильных конкурента изо всех сил борются друг с другом, а победа достаётся третьему, самому слабому. В теории игр такой сюжет называется дуэлью трёх лиц, и у него есть очень много расширений и развитий в разные стороны, которые встречаются и на практике. Например, в фильме «Хороший, плохой, злой» есть интересный эпизод, когда три стрелка приходят на кладбище, чтобы разобраться между собой. Они встают метрах в сорока друг от друга в вершинах равностороннего треугольника, держа на изготовке по револьверу. Предполагается, что выжить должен только один, поэтому им предстоит сложный выбор — в кого стрелять первым, чтобы иметь наибольшие шансы на успех. То есть всё развивается по классическому сценарию теории игр. Далее следует захватывающая психологическая сцена, которая разрешается тем, что револьвер одного из стрелков оказывается заблаговременно разряжен одним из его оппонентов. Мы же попробуем формализовать этот эпизод как игру, то есть показать, какие у нас есть игроки, и какие стратегии они могут использовать. Итак, игроков у нас трое, и мы сделаем допущение, что двое из них стреляют очень хорошо (вероятность попадания в соперника составляет 90%), а третий — стрелять совсем не умеет (вероятность удачного выстрела менее 1%). Нам надо понять: кто в кого будет стрелять?

У каждого из игроков есть две стратегии. Стратегию слабого стрелка (обозначим его как А) мы вообще не будем рассматривать — он практически незначим в игровом взаимодействии и совершенно не важно, в кого он будет стрелять — всё равно почти наверняка промахнётся. Поэтому игровое взаимодействие происходит только между двумя хорошими стрелками (обозначим их как В и С).

Каждый из них может выстрелить либо в другого сильного, либо в слабого стрелка. Если B стреляет в C, то он, скорее всего, его убивает. Дальше всё зависит от того, в кого стреляет C. Если он стреляет в А, то В фактически гарантированно одерживает победу. Но если С стреляет в В, то вероятность остаться в живых у В крайне мала, и он, скорее всего, тоже будет убит. Но всё же в том маленьком шансе, что С промахнётся, ситуация для B такова, что он, метя в С и убивая его, если попадёт сам, планирует остаться один на один с А, в дуэли с которым почти гарантированно выиграет. Если же он изначально метил в А, то даже оставшись на этом шаге в живых, теперь он будет один на один с С, и тогда, скорее всего, умрёт на следующем шаге уже обычной дуэли. Поэтому с большой долей вероятности можно предсказать, что сильные стрелки В и С на первом шаге будут стрелять друг в друга, с вероятностью в 81% оба погибнут, и тогда неожиданным образом выяснится, что в этой дуэли трёх лиц победит слабейший. Во многих ситуациях это действительно наблюдаемый феномен.

Но замечу, что если бы игроки смогли скооперироваться, то их ситуация стала бы гораздо проще. К примеру, мы можем добавить условие, что оставшись вдвоём, игроки, если захотят, могут подписать мирный договор. В таком случае становится возможным одновременное выживание как В, так и С, а значит игра пойдёт уже совсем по другому сценарию. Правда, в жизни такое соглашение слабо реализуемо, потому что у каждого из игроков есть большое желание его нарушить.

Немного подытожу сказанное. Игровое взаимодействие со стратегической точки зрения совершенно тривиально: у каждого игрока имеется какая-то стратегия, которая независимо от действия его оппонентов является наилучшей среди всех его возможных выборов. Но при этом если оба сильных игрока пользуются каждый своей наилучшей стратегией, то они оказываются в ситуации заведомо более невыгодной, чем та, в которой они могли заключить между собой какой-то договор о действиях сообща. То есть при кооперации может быть достигнут более выгодный для обоих игроков исход, чем тот, который реализуется при простом стратегическом разыгрывании.


© кадр из фильма «Хороший, плохой, злой»

Дуэль трёх лиц – ещё одна классическая модель теории игр, имеющая в жизни самые разнообразные проявления. На фото – пример реализации этой модели в фильме «Хороший, плохой, злой».

— Если основываться на приведённых вами примерах, то можно ли говорить о том, что теория игр, как инструмент, отталкивается от попыток проанализировать и предугадать как тот или иной участник игры поступит в конкретной ситуации, исходя из своих интересов, но подразумевая, что у других тоже есть свои интересы?

Да, конечно. Теория игр — это математический анализ конфликтов. Конфликтом здесь называется любая ситуация взаимодействия, даже если в житейском смысле она совершенно бесконфликтна. Если мы с кем-то взаимодействуем, то можем принести друг другу пользу — в теории игр это называется анализом конфликта. То, каким образом конфликт будет развиваться и какую пользу друг другу мы принесём, можно попытаться сформулировать математически: прописать цели одного игрока, цели другого, возможные ходы одного и другого, третьего, четвёртого, если игроков много, и пытаться предположить, какой выбор стоит перед человеком, и какой конкретно шаг он сделает.

Иногда решения принимаются одновременно очень большим количеством людей, и в результате комбинации этих решений возникает какая-то ситуация. Пример — дорожная пробка. У вас всегда есть выбор: сесть или не сесть за руль ясным солнечным утром. Очевидно, что если очень многие люди примут решение сесть за руль, то на дорогах возникнут заторы, как результат развития конфликтной ситуации принятия решения. Решения друг друга люди знать не могут, но то, каким при этом будет исход, можно попытаться математически предсказать. Я не могу прописать про каждого человека, сядет ли он за руль, поэтому в данном случае напрашивается упрощённая теоретико-игровая картина. Я должен построить догадку, сколько человек сядет за руль. И если я, построив её, угадаю более-менее правильно, то смогу принять оптимальное для себя решение — либо сесть за руль, либо нет, в зависимости от того, где я нахожусь и какова конкретная карта моего маршрута. Ситуация, когда возникает такая загрузка, которую все ожидали, принимая, исходя из этого, собственное решение, называется равновесием транспортных потоков.

Строго говоря, здесь не обойтись без предположения об использовании смешанных стратегий, но в ситуациях огромного числа игроков любую смешанную стратегию можно реализовать как «компот» из чистых стратегий, в котором внешне неразличимые игроки безразличны между выбором из нескольких стратегий, и разбиваются на несколько групп; в каждой группе используется один из равноценных ходов.

В математике есть ряд теоретических результатов, гарантирующих, что любая ситуация, если её отпустить, стремится к равновесию. Правда, все такие результаты предполагают очень много дополнительных условий, поэтому в жизни это работает не всегда. В моделях транспортного планирования (вот удача!) равновесие действительно складывается само. Допустим, у нас есть две дороги: одна маленькая, узкая, но прямая, а другая сильно в обход, но очень широкая. Тогда мы точно знаем, что произойдёт: пробка на маленькой дороге будет в среднем ровно такой длины, чтобы время езды прямо и в обход было одинаковым. Это прогноз теории игр, и он хорошо работает.


Дорожное движение – одна из тех областей, где теория игр работает особенно хорошо, позволяя объяснять и решать возникающие проблемы. К примеру, существует такой парадокс, когда появление новой дороги приводит не к уменьшению, а наоборот, к росту пробок, и время, которое затрачивает каждый из нас, чтобы доехать из одного пункта в другой, будет увеличиваться. Но как такое возможно? Дело в том, что мы, не созваниваясь и не координируя друг с другом наши решения, пытаемся выбрать оптимальный маршрут, не всегда учитывая те, грубо говоря, негативные последствия, которые он накладывает на других участников дорожного движения. Это несложно понять даже не зная математики. Представьте, что вам нужно добраться из пункта А в пункт Б. Сделать это можно по одной из двух дорог, каждая из которых, в свою очередь, состоит из двух частей. Если вы двигаетесь по верхней (смотрите рисунок) дороге, то первая часть пути всегда займёт у вас 20 минут (t=20). Это современная широкая трасса, и поэтому заторы на ней никогда не образуются. А вот вторая часть дороги – узкая и время её преодоления (t=х) зависит от плотности движения: если едет 50 автомобилей, то они преодолеют эту часть пути за 5 минут, если их 100, то за 10 минут и так далее. То же самое и с нижней дорогой, только там от плотности потока зависит время преодоления первого участка, а вторая часть всегда занимает 20 минут. Давайте посчитаем, сколько времени займёт дорога из пункта А в пункт Б допустим, для двухсот водителей? Поскольку оба пути равнозначны и нет более привлекательного маршрута, то автомобилисты распределятся между дорогами равномерно. Те, кто поедет по верхней дороге, потратят 20+10=30 минут, те, кто по нижней – 10+20=30 минут. Это значит, что та часть пути, которая обозначена как t=х составит для всех водителей по 10 минут и будет предпочтительнее того участка, который занимает 20 минут. Итак, в обычных условиях, вы, как и все остальные, тратите на всю дорогу минут. А теперь добавим в схему всего одну очень короткую дорогу (обозначена красным пунктиром), которая соединит верхнюю и нижнюю и не будет занимать у вас много времени (для простоты расчётов возьмём t=0). Что изменится? Конечно, вы поедете по самому выгодному лично для вас пути (начав двигаться по нижней дороге, а закончив – по верхней), ведь вместо 30 привычных минут сможете доехать на треть быстрее. Проблема в том, что остальные 199 водителей думают так же. Легко посчитать, что из-за этого всё будет ровно наоборот по сравнению с вашими ожиданиями: вместо 20 желаемых минут все будут ехать вдвое больше (20+20=40). То есть теперь каждый из участков верхней и нижней дороги будет занимать по 40 минут, и вы ни при каких условиях не сможете проехать быстрее, даже если смените свой маршрут. В математике такая ситуация называея парадоксом Браеса. В качестве примеров его разрешения в реальной жизни обычно приводят улучшение ситуации на дорогах в Штутгарте после закрытия для движения секции одной из новых дорог, а также историю из Нью-Йорка, где в 1990 году закрытие 42-й улицы сократило количество дорожных заторов в этом районе.

— Когда в Казани проводилась Универсиада, все опасались, что пробки в это время будут громадными. В итоге многие взяли отпуска и уехали за город — так что городские трассы были совершенно пустыми. Что теория игр говорит по этому поводу?

Это означает, что при принятии решений люди перерефлексировали. Это довольно частая ситуация, которая складывается, когда ты хочешь перехитрить других. Формальный ответ такой — равновесие не сложилось, то есть одни люди неправильно предсказывали поведение других людей. В Москве такое бывает каждый раз, когда ухудшается погода. Если люди слишком перерефлексируют, испугавшись ненастья, то улицы будут пустыми. Вот такое развитие ситуации непредсказуемо в принципе, то есть мы не понимаем, что может происходить вне равновесия. В равновесии же пробка будет примерно той же, что и обычно, потому что ровно тот процент людей сядет за руль, который при данной погоде создаст такую же пробку. Если в хорошую погоду в Москве для начала серьёзных заторов нужно, чтобы каждый четвёртый из имеющих машины сел за руль, то в плохую погоду будет достаточно каждого шестого. В норме равновесие должно «пересчитаться само», то есть случайным образом должны отобраться те, которые будут этими шестыми. Но это только в норме, в теории.

Иногда на ход игры полезно повлиять извне, тем самым взяв перерефлексирование «на контроль». К примеру, мэр города может заявить: «Сегодня ожидается плохая погода, поэтому за руль рекомендуется садиться только тем, у кого первая цифра в номере — 0 или 1. Это даст нам не очень большие пробки, даже несмотря на погоду». Это только совет, но люди при этом могут сами посчитать равновесие и убедиться, что при 20% севших за руль им действительно уже более-менее всё равно — садиться за руль самим или нет. Тогда почему бы просто не послушаться мэра? Таким путём возникает нормальный самоподдерживающийся общественный договор. Роль координатора состоит в том, чтобы безо всяких штрафов обрисовать равновесную ситуацию, и тогда она имеет шанс реализоваться. Если же объявить, например, что за руль садятся только те, у кого номер начинается на «0», то умный горожанин будет думать: «За руль сядет только каждый десятый, а это значит, что проспекты будут пустыми. Мой номер начинается не на «0», но я всё равно сяду за руль — хочу поездить по свободным улицам». В этом случае равновесие не объявлено, и оно не реализуется.


На основании парадокса Браеса строится пример, чисто модельный, за который придумавший его математик Юрий Несторов был удостоен высокой математической награды — премии Данцига. В его основе лежит такая идея: если появление новой дороги может привести к ухудшению дорожной ситуации, то какой-то запрет, наверное, приведёт к улучшению. И Нестеров конкретно показал как это происходит. Допустим, есть пункты А и Б, но добраться из одного в другой, минуя третий пункт С, невозможно (например, из-за особенностей ландшафта). Из пункта А в пункт С ведёт две дороги: длинная (красная) занимает 40 минут, а короткая (чёрная) — 20. Две дороги ведут из пункта С в пункт Б: длинная (красная) точно также занимает 40 минут, а короткая (чёрная) — 20. Но короткая дорога узкая, и она вмещает только 5000 машин в час, а длинная вмещает — 10000 машин в час. Нужно, чтобы из А в Б за час проехало 8000 машин. Что происходит? Ответ очевиден — образуется пробка по 20 минут на каждом сегменте короткой дороги. Так происходит из-за известного математикам принципа Вардропа: если есть дорога в 40 минут и дорога в 20 минут, но узкая и всех не вмещающая, то образуется пробка, которая будет расти ровно до тех пор, пока время проезда по длинной и короткой дорогам не сравняется и не станет равным 40 минутам. Тогда мы получаем, что все водители, движущиеся из пункта А в пункт Б делятся на 4 категории: те, которые едут только по чёрной дороге и «ловят» обе пробки по 20 минут; те, которые едут без пробок по красной; те, которые вначале едут с пробкой, а потом без пробки и те, которые наоборот – сначала едут без пробки, а потом с пробкой. Но в любом случае на дорогу все они тратят 1 час 20 минут (40 минут + 40 минут). Нестеров сделал одну простую вещь: поставил в пункте С знак запрета на движение по той же самой дороге, по которой водители его начинали. То есть если ты приехал из пункта А по короткой дороге, то должен свернуть на длинную. А если приехал по длинной, то имеешь право продолжать только по короткой. Результат: поскольку предпочтительного пути теперь нет, потоки разбиваются естественным образом в силу закона больших чисел: 4 тысячи водителей начинают двигаться по красной дороге, и 4 тысячи – по чёрной. Но 4 тысячи – это в пределах вместимости чёрной дороги, поэтому 20-минутные пробки на ней исчезают, и все водители начинают тратить на дорогу ровно по часу (20+40 и 40+20). Один запрещающий знак привёл к тому, что все участники дорожного движения снизили время корреспонденции на 20 минут. При этом заметьте – никаких финансовых затрат такое решение не требует.

— Предположу, что всё рассказанное вами — это лишь один из пластов теории игр — некие логические размышления и построения. А насколько крутая математика стоит за всем этим?

Математика начинается тогда, когда предсказывается конкретика решений — когда нужно взять какую-то производную от параметра, просчитать вероятность принятия того или иного решения и так далее. Это уже сплошная математика. Её «крутость», конечно, зависит от уровня решаемой задачи. Та же теорема Эрроу — это настоящий восторг, 7 страниц крутейшей комбинаторики. Недаром за 160 лет ни один математик не преуспел на этом поприще. А вообще в теории игр очень много красивейшей и суперсложной математики, за что я её и люблю, в первую очередь. А уж теорема существования равновесия Нэша в смешанных стратегиях — это вообще один из венцов творения математики XX века. Насколько хорошо она работает в обществе — разговор отдельный, но то, что она вдохнула новую жизнь в чистую математику — нет никаких сомнений.

— А в каких областях нашей жизни теория игр наиболее востребована или проявляется наиболее ярко?

Традиционно говорят об экономике, политике, футболе, общественных науках. Один из примеров, где теория игр проявляет себя наиболее успешно — это проведение аукционов. Профессор РЭШ Сергей Измалков рассказывал об интересном случае, произошедшем в США, когда на одном из аукционов очень круто закартелились два игрока. В общих чертах дело происходило так. Это был многотоварный аукцион с несколькими лотами, два из которых — условно назовём их лот №3 и лот №13 — были очень лакомыми. Серьёзных игроков тоже было только двое. Было понятно, что мелким участникам в лучшем случае достанутся только маленькие лоты, а игра за два крупных лота развернётся между двумя основными кандидатами. И вот, начинаются торги за лот №3. Первый гигант ставит на него 100 очков — это совсем копейки. Второй ставит 200. Первый ставит 213. Второй не понимает и ставит 300. Первый ставит 313. Второй пасует. Когда приходит время тринадцатого лота, второй участник получает его без игры. Дело в том, что, ставя по 213 и 313 очков, первый игрок намекал, что за 13-й лот он бороться не будет, если второй игрок уступит ему без борьбы лот №3. Когда второй игрок это понял, то сразу же отступил. В итоге организаторы аукциона оказались в огромном проигрыше, поскольку отдали за бесценок оба крупных лота. От разорения их спасло только то, что американское законодательство крайне агрессивно по отношению ко всякого рода сговорам. И хотя формально сговор доказать было нельзя, суд заявил, что все всё прекрасно понимают, и назначил обоим участникам огромные штрафы.

Если в предыдущих примерах мы говорили о том, что задача теории игр — это достижение равновесия или, более широко, заключение какого-то общественного договора, то в случае с аукционами она противоположна — не допустить сговора. Если бы организаторы аукциона разнесли два крупных лота по времени, то такой ситуации бы не случилось. Ведь было бы неизвестно, какой порядковый номер будет у второго крупного лота, а значит мы имеем гораздо меньше определённости, как именно сделать намёк конкуренту — и сговор становится малореальным.

Другой пример. В 1999 году англичане пригласили американского экономиста Роджера Майерсона, главного мирового эксперта по аукционам (в 2007 году он был удостоен ещё и Нобелевской премии по экономике) провести аукцион по продаже диапазона мобильных частот для местной мобильной связи. Его выиграла какая-то фирма, заплатив сумму в 600 с лишним фунтов стерлингов в расчёте на одного англичанина (население Великобритании составляет ≈66 млн человек). Это была одна из самых больших сделок в истории аукционов. Но когда нечто подобное попытались сделать в Швейцарии, они не стали приглашать никакого Майерсона, а сами «на коленке» состряпали свой аукцион. В итоге они получили только 20 франков на человека — в десятки раз меньше, чем англичане. В Швейцарии допустили сговор (доказать его, правда, никто не смог), а Роджер Майерсон в Англии очень аккуратно за этим следил. Аукцион убивается сговором — для нас, теоретико-игровиков, это почти аксиома, и первое, что надо делать, когда ты его организуешь — это добиться того, чтобы сговора не было.


© streetlucifer / shutterstock

Теория игр — это очень сложная математика: это функциональный анализ, это максимизация в бесконечномерных пространствах, это согласованные системы уравнений. Для того, чтобы по-настоящему разобраться в теории игр, например, в том, как организовывать аукцион, нужно предварительно изучить и весь математический анализ, и всю линейную алгебру, и даже дифференциальные уравнения. Такова жизнь – математика в настоящее время «живёт» во всех науках, в том числе и в теории игр – науке про общество.

— Насколько теория игр актуальна для обычного человека? Может ли он её применять в каких-то своих жизненных ситуациях?

Как я уже сказал в самом начале, сегодня мы живём в эпоху игр. Теория игр прочищает мозг в направлении, которое помогает людям ориентироваться в социуме. Без теории игр ты видишь разрозненные решения отдельных людей, и они не складываются в твоей голове в мозаику. Мы пытаемся увидеть цели и задачи других людей, и если мы можем их правильно предсказать, то можем предсказать и решения, которые они примут. Теория игр — это способность и возможность предвидеть действия другого человека в ответ на твои нетривиальные ходы, и в результате выбрать какой-нибудь суперклассный ход. Конечно, есть люди, которые ничего этого не делают, не играют, но тогда они являются объектами, а не субъектами игры и чаще находятся в проигрыше.

Приведу несколько очень простых примеров применения теории игр в личных жизненных ситуациях. Я очень много езжу по стране и, в частности, часто посещаю Майкоп, где находится Кавказский математический центр. Это направление Москва-Краснодар. Самолёты туда достаточно часто летают полупустыми, поэтому я резервирую себе центральное место ряда. Другие пассажиры не будут брать места, соседние с занятым, когда есть много свободных мест, поэтому все три места в ряду в таких случаях достаются мне, и я могу на них спать всю дорогу, превращая самолёт в «плацкарт».

Или другой пример — с поездом. После выступления с лекцией мне необходимо было ехать в другой город. Маршрут — Галич-Тюмень. Езды сутки с лишним, почти 30 часов. Организаторы готовы купить мне билет любой стоимости в купе. Я прошу верхнее место, на что они говорят: «Зачем верхнее, давай нижнее купим, не стоит экономить». Но я настаиваю на верхнем. А ситуация здесь в следующем: так как нижние места дороже, то свободными их осталось достаточно много. А верхние уже многие заняты. Если я покупаю нижнее место, то верхнее надо мной будет занято. Но если я беру верхнее, то нижнее подо мной останется, скорее всего, свободно. В итоге я получаю в своё распоряжение целый кабинет — и верх, и низ. Так в итоге и вышло, вплоть до Екатеринбурга, где на оставшиеся несколько часов ко мне в купе подсели пассажиры.

Ещё пример. Поезд в Великий Новгород всегда ходил по маршруту «Великий Новгород — Москва», но за какое-то время до Чемпионата мира по футболу его продлили до Нижнего Новгорода, потому что кто-то предположил, что многие иностранцы перепутают и приедут на матч не в тот Новгород. За весь чемпионат таковых набралось около 25 человек — их успешно посадили на этот поезд и отправили в Нижний Новгород. Теория игр в чистом виде. Что касается меня, то я как раз еду из Великого Новгорода в таком поезде и, пользуясь случаем, прошу купить мне билет не до Москвы (хотя именно там я планирую сойти), а чуть дальше, чем мне нужно — до Владимира. Чего же я хочу добиться? Всё просто: чтобы проводница не разбудила меня за 1.5 часа до прибытия. Поезд прибывает в Москву в 5.30, и уже в начале 5-го она всех будит. А меня не будит. Я просыпаюсь незадолго до прибытия, беру сумку, а на вопрос «Вы куда?», отвечаю: «Я решил выйти в Москве, погуляю».

Ну и ещё один потрясающий пример — на этот раз из художественной литературы. Гоголь, «Игроки». Сюжет таков: приезжает жулик, селится в трактир, потом выезжает, не заплатив. При этом оставляет мешок с колодами карт. Что делает хозяин трактира: пускает карты с молотка, чтобы хотя бы частично погасить убытки. Никто не замечает, но все карты оказываются краплёными. В город приезжают подельники этого жулика и обыгрывают весь городской люд. То есть мы видим, насколько точно, до мельчайших деталей просчитана реакция людей на свои действия. Мало того, что шулер сам пожил, не заплатив, так ещё потом и весь город в накладе оставил. (Только не надо такого повторять, говоря, что я вас этому научил!)

— А если говорить про бизнес, то насколько востребована теория игр там?

Бизнес (особенно крупный) сегодня очень активно интересуется этой темой, сотрудничая в том числе и со мной. Основное, в чём может помочь бизнесу теория игр — это, конечно, борьба за рынок. Один из наиболее сильно проработанных разделов теории игр — олигополия, поэтому если на рынке есть несколько производителей чего-то очень похожего, типа автомобилей, то математика может быть здесь очень полезна, в частности, в исследовании агрессивных стратегий захвата рынка твоими противниками и принятии соответствующих ответных решений — в каком случае имеет смысл им позвонить, чтобы закартелиться, в каком случае делать это опасно, ну и так далее. Ходы там могут быть совершенно неожиданными.

В настоящий момент я работаю с девятью компаниями. И, например, одна из них — очень крупная финансовая организация — использует теорию игр в по-настоящему конфликтных переговорах. Если ты должен «выбить» долг у очень сложного клиента, который никак не хочет его тебе отдавать, то первое, что тебе нужно сделать — построить схему общения с ним: как ты будешь ему «угрожать», как реагировать на его слова, какие слова говорить в ответ. То есть ты должен построить дерево игры. Я не могу сделать это за людей в этой организации, но я читаю им курс подготовки по теории игр. Теория игр помогает их мозгу увидеть всё дерево возможностей, которые стоят перед ними, а не только те несколько шаблонных вариантов, которыми пользуются все и вся. Ты начинаешь думать, как ещё можно действовать и совершать нестандартные шаги, в результате чего более грамотно разрешаешь конфликтные ситуации.

— И всё-таки, гарантирует ли теория игр выигрыш, или же она даёт, прежде всего, возможность не проиграть?

Это вопрос того, в какой ситуации ты находишься изначально. Если в плохой, то твоя задача — не проиграть, но если игра пошла хорошо, то теория игр тебе нужна, конечно, чтобы выиграть. Если ты себя обнаружил в ситуации, когда математический расчёт гарантированно даёт тебе проигрыш — прикидывайся дураком, слабым звеном, городским сумасшедшим, и может быть, тогда, как в дуэли трёх лиц, тебе повезёт. Если твои соперники ещё не видят, что ты проиграл, а ты уже видишь это — напускай пыль, выводи игру в зону непонятного. И есть шанс, что выплывешь. Но если тебе изначально сулит хороший выигрыш, объясняй другим, что у них нет никаких шансов, пусть сдаются сразу.


Подписаться на новыe материалы можно здесь:  Фейсбук   ВКонтакте


закрыть

Подписывайтесь на нас в Facebook и Вконтакте